BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

BARISAN DAN DERET BILANGAN

Pola Bilangan, Barisan dan Deret
a. Pola bilangan
Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut:
a. 1, 2, 3 …
b. 31, 40, 21, 30, 16 …
Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu.
Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2,
bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 + 1 = 3.
Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.
Pada b, bilangan ke 6 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 3,
mempunyai aturan:
bilangan ke 3 = bilangan pertama – 10 = 31 – 10 = 21,
bilangan ke 4 = bilangan ke 2 – 10 = 40 – 10 = 30,
bilangan ke 5 = bilangan ke 3 – 5 = 21 – 5 = 16,.
Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 – 5 = 30 – 5 = 25.
Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan
pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tidak tunggal.

b. Barisan

Barisan bilangan dibentuk oleh bilangan-bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Barisan bilangan ini dapat kita teruskan suku-sukunya apabila aturan untuk memperoleh suku berikutnya sudah ditentukan.
Perhatikan barisan bilangan berikut ini :
1, 2, 4, 7, 11, ...
Artinya : Suku pertama ditulis U1 = 1
Suku ke-dua ditulis U2 = 2
Suku ke-tiga ditulis U3 = 4
Suku ke-empat ditulis U4 = 7
Dan seterusnya ...
Suku ke-n ditulis Un
Contoh-contoh barisan bilangan khusus antara lain :
Barisan Bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, ...
Rumus suku ke-n adalah Un = n
Suku ke-10 adalah U10 = 10
Barisan Bilangan Genap : 2, 4, 6, 8, ...
Rumus suku ke-n adalah Un = 2n
Suku ke-20 adalah U20 = 2 x 20 = 40
Barisan Bilangan Ganjil : 1, 3, 5, 7, ...
Rumus suku ke-n adalah Un = 2n – 1
Suku ke-15 adalah U15 = 2 x 15 – 1 = 29
Barisan Bilangan Kuadrat / persegi : 1, 4, 9, 16, ...
Rumus suku ke-n adalah Un = n2
Suku ke-12 adalah U12 = 122 = 144
Barisan bilangan juga dapat diperoleh dari pengembangan pola yang teratur, contoh :
Barisan Bilangan Persegi Panjang : 2, 6, 12, 20, ...

Pola , ...
Rumus suku ke-n adalah Un = n(n+1)

Suku ke-8 adalah U8 = 8 (8+1) = 8 x 9 = 72
Barisan Bilangan Segitiga : 1, 3, 6, 10, ...

Pola , ...
Rumus suku ke-n adalah Un = ½ n(n+1)

Suku ke-10 adalah U10 = ½ x 10 (10+1) = 5 x 11 = 55
Barisan Bilangan Pada Segitiga Pascal
Baris ke-n diperoleh dengan menjumlahkan dua suku berurutan pada baris sebelumnya
Jumlah bilangan pada baris ke-1 = 1 = 1 = 20 = 21-1
Jumlah bilangan pada baris ke-2 = 1 + 1 = 2 = 21 = 22-1
Jumlah bilangan pada baris ke-3 = 1 + 2 + 1 = 4 = 22 = 23-1
Jumlah bilangan pada baris ke-4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23 = 24-1
Rumus jumlah bilangan pada baris ke-n = 2n-1
Jadi, barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan-bilangan dengan pola yang sama dan tertata secara urut.

Adapun cara untuk menyajikan suatu barisan salah satunya dengan menggunakan relasi rekursi. Kata rekursi berarti kita menghitung nilai suku berikutnya berdasarkan suku sebelumnya dengan menggunakan prosedur tertentu.
Contoh :
Diberikan suatu relasi rekursi un+1 = 2un – 1 ; u1 = 2 . Tentukan suku ke-2 dan ke-3 dari barisan bilangan tersebut !
Jawab :
u1 = 2 , maka
u2 = 2u1 – 1 u3 = 2u2 – 1
= 2(2) -1 = 2(3) - 1
= 3 = 5
Dengan demikian, barisan bilangan di atas dapat di tulis sebagai 2, 3, 5, ….

Nyatakan barisan bilangan 5, 3, 1, -1, -3, …… dalam bentuk relasi rekursi !
Jawab :
u1 = 5 u3 = 1 u5 = -3
u2 = 3 u4 = -1
Maka terlihat beda bilangan tersebut adalah -2. Sehingga relasi reduksinya adalah :
un = un-1 - 2

c. Deret
Deret bilangan merupakan penjumlahan suku-suku dari barisan bilangan tersebut.
Contohnya :
Diketahui barisan bilangan 1, 4, 7, 10, 13, … penjumlahan suku-suku barisan itu, yaitu
1 + 4 + 7 + 10 + 13 + … disebut deret bilangan.
Bila U1, U2, U3, U4, U5, … disebut barisan bilangan,
maka U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … disebut deret bilangan.
Contoh :
Toko Sukaramai menjual kaset selama lima hari yaitu banyaknya 25, 30, 35, 40, 45. Maka berapa banyak kaset yang terjual selama 3 hari ?
Jawab :
Banyaknya kaset yang terjual selama 3 hari adalah
U1 + U2 + U3 = 25+30+35 = 90

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana selisih dua suku yang berurutan mempunyai nilai yang tetap. Selisih dua suku yang tetap disebut beda dari barisan aritmetika tersebut dan dilambangkan dengan b.
suatu barisan u_1, u_2, u_3, . . ., u_n disebut barisan aritmetika untuk sembarang nilai n jika u_2- u_1 = u_3- u_2 = . . . = u_(n- ) u_(n-1) = b , dengan b adalah suatu ketetapan (konstanta) yang tidak tergantung pada n.
contoh barisan aritmetika:
untuk barisan 1, 6, 11, 16, . . .
beda b = 16 – 11= 11 – 6 = 6 – 1 = 5
untuk barisan 8, 6, 4, 2, . . .
beda b = 8 – 6= 6 – 4 = 4 – 2 = -2

Rumus Umun Suku ke-n pada Barisan Aritmatika

Misalkan suatu barisan dengan suku pertama a dan beda b
u_1, u_2, u_3, u_4, . . . ,u_n
u_1=a
u_2=a+b
u_3=a+2b
u_4=a+3b
u_n=a+(n-1)b
Berdasarkan pola atau keteraturan suku-suku barisan aritmetika di atas, maka rumus umum suku ke-n adalah
u_n=a+(n-1)b
dengan u_n = suku ke-n, n ∊ bilangan asli
a = suku pertama
b = beda

Sifat- Sifat Suku ke-n pada Barisan Aritmetika
Suku umum ke-n pada barisan aritmetika memiliki sifat-sifat sebagai berikut
Suku ke-n = u_n=a+(n-1)b merupakan fungsi linear dari n
(n ∊ bilangan asli).
bukti :
u_n=a+(n-1)b
u_n=bn+(a-b)
karena n berderajat satu, maka u_n merupaka fungsi linear dari n .

Untuk setiap n bilangan asli berlaku = u_(n- ) u_(n-1) = b (beda)
bukti :
u_n =a+(n-1)b = a+nb-b
u_(n-1)=a+{(n-1)├ -1}┤b = a+nb-2b

u_(n- ) u_(n-1) = b


Contoh Soal
Tentukan suku pertama, beda, serta suku ke enam dari barisan 3,2 1/2,2,1 1/2, . . .
Penyelesaian:
Suku pertama u_1= a = 3
beda b=2 1/2-3=-1/2
Suku ke-6 u_6 = a+5b
= 3+5(-1/2 )
= 1/2

Suku pertama suatu aritmetika sama dengan 2, sedangkan bedanya sama dengan 5. carilah suku ke-10 dan suku keberapa yang nilainya 82!
Penyelesaian:
a = 2, b = 5
u_n=a+(n-1)b
u_10=2+(10-1)5
= 2+9.5
= 2+45
= 47
Jadi suku ke-10 sama dengan 47

u_n=a+(n-1)b
82=2+(n-1)5
82=2+5n-5
5n=82-2+5
5n=85
n=17
Jadi suku yang nilainya 82 adalah suku ke-17


Suku Tengah pada Barisan Aritmetika

Untuk barisan-barisan dengan banyaknya suku adalah ganjil, maka dapat ditetapkan suku tengahnya. Suku tengah suatu barisan aritmetika dapat ditentukan melalui deskripsi berikut ini
Misalnya barisan aritmetika yang terdiri atas 3 suku u_1, u_2, u_3, maka suku tengahnya adalah u_2
suku tengah u_2=a+b=1/2 (2a+2b)=1/2 {a+(a+2b)}=1/2(u_1+u_3)
Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan u_2 =1/2(u_1+u_3)

Misalnya barisan aritmetika yang terdiri atas 5 suku u_1, u_2, u_3, u_4, u_5 maka suku tengahnya adalah u_3
suku tengah u_3=a+2b=1/2 (2a+4b)=1/2 {a+(a+4b)}=1/2(u_1+u_5)
Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan u_3 =1/2(u_1+u_5)

Misalnya barisan aritmetika yang terdiri atas 7 suku u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7 maka suku tengahnya adalah u_4
suku tengah u_4=a+3b=1/2 (2a+6b)=1/2 {a+(a+6b)}=1/2(u_1+u_7)
Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan u_4 =1/2(u_1+u_7)

Misalnya barisan aritmetika yang terdiri atas (2k-1) suku u_1, u_2, . . . , u_k, . . . , u_(2k-1) maka suku tengahnya adalah u_k
suku tengah u_k=a+(k-1)b=1/2 (2a+2(k-1)b)=1/2 {a+(a+(2k-2)b)}=1/2(u_1+u_(2k-1))
Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan u_k = 1/2(u_1+u_(2k-1))

Berdasarkan deskripsi di atas, suku tengah dari suatu barisan aritmetika di tentukan melalui hubungan sebagai berikut

Misalkan suatu barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil (2k-1), dengan k bilangan asli lebih dari dua. suku tengan barisan aritmetika itu adalah suku ke- k atau u_k dengan rumus suku tengah u_k ditentukan oleh hubungan
u_k= 1/2(u_1+u_(2k-1))


Contoh Soal
Diketahui suatu barisan aritmetika 3, 5, 7, 9, . . . , 95. Banyaknya suku pada barisan itu adalah ganjil.
Carilah suku tengahnya
Suku keberapakah suku tengahnya
Berapakah banyak suku barisan itu
Penyelesaian:
Barisan 3, 5, 7, 9, . . . , 95
suku pertama a=u_1=3
beda b=2
suku terakhir u_(2k-1)=95
u_k= 1/2(u_1+u_(2k-1))
u_k= 1/2(3+95)
u_k= 49
Jadi suku tengahnya sama dengan 49

u_k=a+(k-1)b
49=3+(k-1)2
2k=48
k= 24
Jadi suku tengahnya adalah suku ke-24

Banyaknya suku barisan itu sama dengan 2k-1 = 2(24)-1=47

Sisipan pada Barisan Aritmetika

Di antara dua bilangan xdan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan yang disisipkan membentuk barian aritmetika. Nilai beda dari barisan aritmetika yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan

x merupakan suku pertama dan y merupakan suku terakhir
x . . . . . . . .y disisipkan sebanyak k buah bilangan
x k y
maka banyaknya suku bilangan k+2
u_n=a+(n-1)b
y=x+((k+2)-1)b
y=x+(k+1)b

b = (y-x)/(k+1)

Dengan xdan y ϵ himpunan bilangan real (x≠y) ke k ϵ himpunan bilangan asli.

Contoh Soal
Di antara bilanga 4 dan 28 disisipkan 5 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Carilah beda dari barisan aritmatika yang terbentuk!
Jawab:
diketahui x=4
y=28
k=5

b = (y-x)/(k+1)

b = (28-4)/(5+1)=4
Jadi beda barisan aritmetika yang terbentuk adalah b=4

Rumus Jumlah n Suku Deret Aritmetika

Jumlah beruntun suku-suku suatu baris aritmetika disebut sebagai deret aritmetika. Jika u_1, u_2, u_3, . . ., u_n merupakan barisan aritmetika maka u_1+ u_2+ u_3+ . . .+ u_n merupakan deret aritmetika.
Jika jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan s_n, maka
s_n = a + a+b + a+2b + . . . + u_n
s_n = u_n + u_(n-1) + u_(n-2) + . . . + a

s_n = a + a+b + a+2b + . . . + u_n
s_n = u_n + u_n-b + u_n-2b + . . . + a
+
2s_n = a+u_n + a+u_n + a+u_n + . . . + a+u_n
2s_n = n (a+u_n)
s_n = 1/2 n (a+u_n) karena u_n=a+(n-1)b
s_n = 1/2 n {a+a+(n-1)b}
s_n = 1/2 n {2a+(n-1)b}
sehingga rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
s_n = 1/2 n (a+u_n) atau s_n = 1/2 n {2a+(n-1)b}
s_n = jumlah n suku
u_n = suku ke-n, n ∊ bilangan asli
a = suku pertama
b = beda
Sifat-Sifat Deret Aritmetika

Jumlah n suku pertama deret aritmetika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

s_n = 1/2 n (a+u_n) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan.
bukti:
s_n = 1/2 n (a+u_n)
s_n = 1/2 n {a+a+(n-1)b}
s_n = an+b/2 n^2-b/n n
s_n = b/2 n^2 + (a-b/n) n
hubungan di atas secara jelas menunjukkan bahwa s_n merupakan fungsi kuadrat dari n tanpa memuat suku tetapan.

untuk setiap n bilangan asli berlaku = s_(n- ) s_(n-1) = u_n(suku ke-n)
bukti:
s_n = u_1 + u_2 + u_3 + . . .+ u_(n-1 ) + u_n
s_(n-1) = u_1 + u_2 + u_3 + . . .+ u_(n-1 )
+
s_(n- ) s_(n-1) = u_n
Jadi terbukti bahwa = s_(n- ) s_(n-1) = u_n(suku ke-n)

Contoh Soal
Sebuah tali dibagi menjadi 10 bagian yang panjangnya masing-masing membentuk deret aritmetika, apabila yang paling pendek panjangnya 5 cm dan yang paling panjang adalah 41 cm. Hitunglah beda panjang setiap bagian tali dan panjang tali semula!
Penyelesaian:
n = 10 a = 5
u_10 = 41
u_n=a+(n-1)b
41=5+(10-1)b
41=5+9b
9b=36
b=4
Beda panjang setiap bagian tali adalah 4 cm
s_n = 1/2 n (a+u_n)
s_10 = 1/2 10 (5+41)
= 5(46)
= 230

Panjang tali semula adalah 230 cm

Hitung banyak dan jumlah bilangan bulat antara 100 dan 1.000 yang habis dibagi 5!
Penyelesaian:
Bilangan bulat antara 100 dan 1.000 yang habis dibagi 5
105, 110, 115, . . . ,995
a = 105
b = 5
u_n = 995
u_n=a+(n-1)b
995=105+(n-1)5
199=21+(n-1)
n=199-20
n=179
Banyaknya bilangan adalah 179
s_n = 1/2 n (a+u_n)
s_179 = 1/2 .179 (105+995)
= 1/2.179(1.100)
= 98.450
Jadi, jumlah bilangan tersebut adalah 98.450



Banyaknya suku suatu deret aritmatika adalah 15, suku terakhir adalah 47 dan jumlah deret tersebut adalah 285. suku pertama deret ini dalah . . . .

penyelesaian:
n = 15
u_n= 47
s_n= 285
s_n = 1/2 n (a+u_n)
285 = 1/2 15 (a+47)
285.2/15 = (a+47)
38=a+47
a=-9
Jadi suku pertama deret tersebut adalah -9.