A. Persoalan-Persoalan Pokok dalam Pengembangan Matematika
Matematika muncul sebagai hasil dari pengamatan manusia terhadap fenomena-fenomena yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Dari fenomena sehari-hari inilah kemudian muncul berbagai persoalan-persoalan matematika yang oleh peradaban manusia saat itu belum dikenal matematika. Munculnya matematika pertama kali adalah berawal dari pemikiran bangsa Babilonia Kuno (Peradaban Mesir) terhadap fenomena yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari mereka. Fenomena tersebut menjadi awal munculnya berbagai permasalahan matematika yang menuntut untuk dicari penyelesaiannya. waktu itu matematika telah di pergunakan dalam perdagangan, pertanian, bangunan dan usaha mengontrol alam. Pada peradaban yang lebih muda yaitu peradaban Yunani, manusia mulai memikirkan kenyataan bahwa matematika adalah suatu ilmu yang diperoleh dari hasil abstraksi dan idealisasi sehingga muncul berbagai rumus-rumus matematika yang juga tersaji dalam bukti-bukti matematika. Saat itu orang mengenal ada dua sifat yaitu tetap (aliran Permenides) dan berubah (aliran Heraclitos), matematika sendiri cenderung kepada sifat tetap di dalam pikiran.
Bidang matematika ditemukan karena ada masalah-masalah praktis yang benar-benar ingin diselesaikan oleh manusia, baik karena ingin tahu atau karena alasan-alasan praktis.
1. Trigonometri
Sekitar tahun 600 SM Thales seorang matematikawan yunani pergi menuju mesir dan Raja mesir bertanya apakah dia bisa menentukan ketinggian yang tepat dari piramida yang besar. Thales kemudian mengukur bayangan piramida tersebut dan bayangannya sendiri. Dalam hal ini tampak jelas bahwa proporsi tinggi badan dengan tinggi bayangannya adalah sama dengan proporsi tinggi piramida dan panjang bayangannya. Sang raja kemudian bertanya apakah dia bisa menentukan jarak sebuah kapal di laut tanpa meninggalkan daratan. Masalah ini lebih sulit, dan dia tidak bisa memberikan suatu pemecahan umum. Prinsip yang digunakannya adalah mengamati arah kapal dari dua titik kapal pantai yang jaraknya telah diketahui; semakin jauh jarak kapal tersebut, semakin kecil perbedaan yang ada dalam kedua arahnya. Jawaban yang lengkap memerlukan penggunaan trigonometri, yang baru ditemukan beberapa abad sesudahnya. Namun demikian , jawaban yang sebenarnya cukup mudah. Misalkan saja garis pantai membentang dari timur ke barat, dan kapal tersebut berada di suatu titik sebelah utara titik A di pantai, dan sebelah barat laut dari titik B. Selanjutnya jarak dari A ke kapal adalah sama dengan jarak A ke titik B, pembaca bisa memastikan dengan menggunakan gambar. Misalkan kapal tersebut adalah kapal perang musuh dan pasukan mesir disiagakan di pantai untuk menghadapinya, pengetahuan seperti ini mungkin akan sangat berguna.
2. Phytagoras
Orang-orang mesir memberikan sebuah awalan kecil dalam bidang geometri dengan tujuan agar bisa mengukur luas lahan saat aliran sungai nil turun. Mereka mengamati bahwa suatu segitiga yang sisi-sisinya berukuran 3, 4, dan 5 satuan memiliki sudut siku-siku. Phytagoras melihat adanya fakta yang cukup menarik dari segitiga ini. Jika menguadratkan masing-masing sisi pada segitiga ini , salah satu kuadrat tersebut memiliki ukuran 9 satuan, yang kedua memiliki ukuran 16 dan yang ketiga 25; dan 9 ditambah 16 adalah 25. Phytagoras membuat generalisasi atas masalah ini dan membuktikan bahwa dalam semua segitiga siku-siku, jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang lebih pendek adalah sama dengan kuadrat dari sisi terpanjang. Akan tetapi penemuan in muncul suatu kekhawatiran yang mengusik para ahli matematika modern dan hanya berhasil di pecahkan sepenuhnya belum lama ini. Misalkan anda memiliki sebuah segitiga siku-siku dimana masing-masing sisi yang pendek berukuran satu inci, berapa panjang sisi ketiganya? kuadrat dari masing-masing sisi yang pendek adalah satu inci kuadrat; jadi sisi yang panjang ukurannya adalah dua inci kuadrat. Jadi ukuran dari sisi yang panjang haruslah sebuah bilangan di mana apabila anda mengalikan bilangan tersebut dengan bilangan itu sendiri, anda mendapat bilangan dua. Bilangan ini disebut sebagai akar kuadrat dari dua. Beberapa saat kemudian diketahui bahwa bilangan itu tidak ada. Bisa memastikan hal ini dengan mudah. Bilangan tersebut tidak bisa berupa bilangan utuh, karena satu terlalu kecil dan dua terlalu besar. Namun jika anda mengalikan pecahan dengan pecahan itu sendiri anda akan memperoleh pecahan lain, bukan bilangan utuh; jadi tidak mungkin menggunakan bentuk pecahan yang bila dikalikan bisa menghasilkan bilangan dua. sehingga akar kuadrat dari dua bukan bilangan utuh atau pecahan.
3. Aljabar
Aljabar muncul pada akhir masa yunani alexanderia, namun sebagian besar dikembangkan untuk pertama kali oleh orang-orang arab dan kemudian oleh orang-orang abad ke-16 dan 17. Aljabar pada awalnya lebih sulit dari geometri karena dalam geometri ada bentuk yang bisa dilihat, sedangkan x dan y aljabar sepenuhnya abstrak. Sebenarnya aljabar adalah aritmatika yang digenaralisasikan: apabila ada beberapa proposisi yang benar untuk semua bilangan, tidak ada gunanya bila kita membuktikannya untuk masing-masing bilangan, jadi kita mengatakan “x adalah sembarang bilangan” dan melanjutkan dengan penalaran. Sebagai contoh misalnya anda memperhatiakn bahwa 1 tambah 3 adalah 4, atau sama dengan 3 kali 3; 1 tambah 3 tambah 5 tambah 7 adalah 16 atau sama dengan 4 kali 4. Mungkin kita bertanya apakah ini merupakan suatu aturan umum, namun kita memerlukan aljabar untuk mengekspresikan semuanya dalam bentuk pertanyaan yaitu: “ Apakah jumlah n pertama bingan ganjil selalu n2?” apabila kita sampai pada pemahaman atas pertanyaan ini kita bisa menemukan bahwa jawabannya adalah ya. Jika kita tidak menggunakan huruf-huruf seperti n, berarti harus harus menggunakan bahasa yang sangat rumit. Kita bisa mengatakan : “ jika ada sembarang bilangan ganjil yang ditambahkan, hasilnya adalah kuadrat dari jumlah bilangan-bilangan ganjil yang ditambahkan.” Ini jauh lebih sulit untuk dipahami. Dan bila kita sampai pada pertanyaan yang lebih sulit, kita akan menemukan bahwa kita tidak bisa memahaminya tanpa menggunakan bentuk huruf seperti pengganti frase”sembarang bilangan”. Bahkan masalah-masalah yang berkaitan dengan bilangan-bilangan khusus akan jauh lebih mudah diselesaikan jika kita menggunakan huruf x untuk bilangan yang kita inginkan. Misalkan sebuah teka-teki:” Jika seekor ikan beratnya 5 ons, dan separuh dari beratnya sendiri, berapa berat ikan tersebut?’ banyak orang yang cendrung manjawab 7,5 ons, jika anda mengawali dengan”x adalah berat ikan”, dan melanjutkan, “ 5 ons ditambah setengah x sama dengan x’, tampak jelas bahwa 5 ons adalah separuh dari x, jadi x adalah 10 ons. Masalah ini hampir terlalu mudah untuk memerlukan penggunaan “x”.
Matematika sebagai ilmu yang lahir dari pemikiran manusia adalah sangat tergantung dari pondamen pikir seseorang.
B. Persoalan-Persoalan pokok dalam Pengembangan Pendidikan Matematika
Lemahnya pendidikan matematika di Indonesia merupakan akibat tidak diajarkannya filsafat atau latar belakang ilmu matematika. Dampaknya, siswa, bahkan mahasiswa, pandai mengerjakan soal, tetapi tidak bisa memberikan makna dari soal itu. Matematika hanya diartikan sebagai sebuah persoalan hitung-hitungan yang siap untuk diselesaikan atau dicari jawabannya. Siswa dan mahasiswa lebih diposisikan sebagai pengguna ilmu. Akibat dari itu sering ditemui siswa atau mahasiswa tidak mampu memberikan penjelasan atau interpretasi terhadap sebuah soal dalam matematika. Misalnya, betapa para siswa SMA dan mahasiswa akan dengan mudah dan dipastikan benar, manakala diminta untuk mengerjakan soal determinan dari sebuah matrik. Tetapi ketika ditanya lebih lanjut apa makna dan pengertian dari determinan yang telah dikerjakannya itu, hampir dapat dipastikan, tidak ada yang mengerti. Inilah problem dasar pada pendidikan matematika, Siswa atau mahasiswa tidak dibiasakan untuk menginterpretasikan sebuah persoalan. Terhadap kelemahan itu, perlu ada perubahan paradigma dan cara pandang baru tentang bagaimana unsur-unsur filsafat itu bisa diberikan kepada siswa dan mahasiswa dan tidak melakukan perubahan terhadap kurikulum matematika yang sudah ada, ini ditujukan kepada para guru dan dosen agar apa yang diberikan kepada para peserta didiknya harus dilengkapi dengan berbagai penjelasan dan latar belakang terhadap sebuah rumus yang telah diyakininya itu, sebagai sebuah pengetahuan filsafat.
Dunia pendidikan matematika inovatif kontemporer ada yang secara intensif ada juga yang ekstensif. Dunia pendidikan matematika inovatif kontemporer secara intensif merupakan suatu dunia pendidikan dimana dalam pelaksanaan proses pembelajaran matematika, siswa dituntut untuk menggunakan kemampuan dan pikirannya secara dalam sedalam- dalamnya untuk menerapkan konsep- konsep yang ada dalam matematika untuk digunakan secara maksimal oleh dirinya sendiri. Sedangkan dunia pendidikan matematika inovatif kontemporer secara ekstensif adalah suatu dunia pendidikan dimana dalam pelaksanaan kegiatan proses belajar mengajar matematika, siswa dan guru harus berperan aktif dalam menggunakan kemampuan dan pemikirannya secara luas seluas- luasnya untuk memanfaatkan dan menerapkan konsep- konsep yang ada dalam matematika untuk direalisasikan dalam kehidupan sehari- hari dan kehidupan sosial bermasyarakat.
Proses pendidikan matematika bukan semata-mata mengajarkan. Tetapi pemahaman konsep matematika diberikan secara lebih jelas yang selama ini tidak pernah terungkap di sekolah-sekolah. mengajarkan matematika secara konvensional berbeda dengan menggunakan filsafat matematika.
Perbedaan mengajar matematika secara konvensional dan bagaimana metodologi dalam pendidikan filsafat matematika pada contoh di bawah ini:
Berapakah 2% dari 1000?
Mengajar Matematika Konvensional
Untuk mendapatkan bilangan 2% dari 1000 adalah dengan cara mengalikan 2% dengan 1000
2% x 1000
2/100 x 1000
2 x 10 = 20
Jadi 2% dari 1000 adalah 20.
Mendidik dengan Filsafat Matematika
"Anak-anak, sekarang kalian akan mempelajari Persentase."
"Pelajaran tentang apa itu, pak?"
"Prosentase adalah bagian dari pelajaran matematika yang membicarakan tentang suatu bagian tertentu untuk setiap jumlah 100."
"Maksudnya?"
"Nah, supaya kalian memahaminya, mari kita lihat pengertian persentase langsung pada materi soal. Misalnya berapakah 2% dari 1000?"
Pertama, pahamilah bahwa 2% adalah mengandung pengertian SETIAP 100 ADA 2. Atau dapat juga dikatakan setiap 100 berkurang 2.
Kedua, jika kalian ingin mengetahui berapakah 2% dari 1000, maka konsepnya adalah: SETIAP 100 BERKURANG 2
Jadi jika 1000 maka kalian dapat menghitung dengan cara:
100 => 2
100 => 2
100 => 2
100 => 2
100 => 2
100 => 2
100 => 2
100 => 2
100 => 2
100 => 2
_______ +
1000 => 20
"Nah, kalian sekarang bisa mengetahui bahwa 2% dari 1000 itu adalah 20, bukan? Itulah konsep persentase yang sebenarnya"
"Namun, jika kalian ingin lebih mudah menemukan bilangan 2% dari 1000, sebenarnya kalian bisa langsung mengalikan kedua bilangan tersebut. Berikut caranya."
2% adalah setiap 100 ada 2, ditulis 2/100 (baca: dua per seratus).
2/100 x 1000
2 x 10
20
"Jadi dengan cara mengalikan langsung hasilnya lebih mudah dihitung ya? Tapi, memahami rahasia di balik konsep Persentase akan membuat kalian lebih mudah menguasai matematika."
Jika kita tidak memahami latar belakang suatu teori atau konsep matematika, tentu kita hanya menghafalkan rumus. Inilah penyebab mengapa matematika itu susah dipahami konsepnya. Terkadang ketika kita mengajarkan matematika tanpa pemahaman konsep bisa memberikan pengertian yang salah.
Contoh sederhananya:
Jika kita tahu bahwa konsep perkalian adalah penjumlahan berulang, mengapa kaita harus membedakan 1 x 3 dan 3 x 1 ? Bukankah hasilnya sama saja?
Dalam filsafat matematika, kita memahaminya dengan cara mengambil perumpamaan berikut:
Samakah makna JAM EMPAT dan EMPAT JAM?
Kata pembentuknya sama, yaitu kata JAM dan kata EMPAT. Tetapi maknanya pasti berbeda jika letaknya diubah. JAM EMPAT menyatakan "pukul" empat. Sedangkan EMPAT JAM bermakna "waktu tempuh, durasi atau lamanya suatu proses".
Makna ini sama dengan konsep perkalian pada soal 1 x 3 dan 3 x 1, masing-masing dapat dijelaskan sebagai berikut:
1 x 3 = 3
3 x 1 = 1 + 1 + 1
Maknanya berbeda meski hasilnya sama. Jika diterapkan pada kehidupan sehari-hari. Jika kita diminta dokter meminum obat dengan dosis 1 x 3 maka maknanya adalah kita harus meminum obat tersebut 1 kali saja sebanyak 3 tablet sekaligus!
Coba dosisnya diubah menjadi 3 x 1. Makna dosis obat tersebut adalah 1 tablet diminum pagi, 1 tablet diminum siang dan 1 tablet lagi diminum malam hari.
Dosis mana yang tepat?.
Itulah pentingnya menelusuri rahasia di balik konsep matematika. Penyampaian materi pelajaran matematika menjadi sangat menarik dan kaya khasanah penemuan konsep dan rumus-rumus matematika dasar sehingga siswa sangat menyukai dan menumbuhkan semangat eksplorasi dunia angka, bilangan dan konsep matematika yang lebih rumit. Penyampaian suatu materi pelajaran matematika menjadi lebih lama dibandingkan penyampaian materi dengan metode biasa (konvensional). Namun, dengan implementasi filsafat sebagai latar belakang lahirnya suatu konsep matematika, maka setiap siswa mampu dan mau mempelajarinya sampai tuntas dan mencintai matematika dengan lebih mendalam.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar